행렬곱 연산자 대수: 약 홉프 대수 표현 및 PEPS

행렬곱 연산자(MPO)는 1차원 시스템에 작용하는 연산자를 나타내는 텐서 네트워크로, 기억 효과가 있는 통신 채널, 양자 셀룰러 오토마타, 1차원 양자 시스템의 혼합 상태, 2차원 양자 시스템의 홀로그래피 경계 모델 등 다양한 상황을 모델링합니다. 특히 MPO는 비자명 대칭의 대수를 표현하는 데 유용하며, 2차원 양자 시스템에서 대칭 보호 위상 및 위상 정렬 위상의 경계에서 MPO 형태의 대칭이 나타납니다. 본 논문에서는 MPO를 대수 구조의 표현으로 다루는 이론을 개발합니다. 대수와 MPO 속성 간의 연결 고리를 확립하여 프리-바이대수, 약 바이대수, 약 홉프 대수의 경우를 포함하여 두 설정 간의 결과를 상호 이전할 수 있도록 합니다. 또한 MPO 대수로부터 위상 정렬된 2차원 텐서 네트워크를 정의하는 데 필요한 최소 요구 사항을 추상화하는 '풀링-스루 대수' 개념을 정의합니다. 주요 결과 중 하나로, 모든 반단순 피벗 약 홉프 대수가 풀링-스루 대수임을 증명합니다. 이 프레임워크의 강력함을 보여주기 위해, 융합 범주에서 얻은 MPO 대칭이 Levin-Wen 스트링-넷 모델을 구성하고 그 위상적 특징을 설명하는 것과 동일한 방식으로, 홉프 대수의 MPO 표현만으로 Kitaev의 양자 이중 모델을 구성할 수 있음을 입증합니다. 이를 통해 Kitaev 모델과 스트링-넷 모델을 동일한 형식적 기반 위에서 설명할 수 있게 됩니다. 본 연구는 MPO를 대수적 관점에서 체계적으로 이해하고, 2차원 위상 양자 시스템의 대칭과 모델을 통합적으로 설명하는 새로운 길을 제시합니다.