양자 보행에서 투영 전이 행렬을 이용한 상태 전이
본 연구는 조합론적 방법을 활용하여 양자 보행에서의 상태 전이를 분석한다. 특히, 이중 반사 이산 시간 양자 보행의 완전 상태 전이(perfect state transfer) 개념을 확장하여 '최고 상태 전이(peak state transfer)'라는 새로운 개념을 제안한다. 최고 상태 전이는 완전 상태 전이가 불가능할 때도 초기 상태와 목표 상태 간에 달성할 수 있는 가장 높은 수준의 상태 전이를 의미한다. 최고 상태 전이의 스펙트럼 특성화를 제시하고, 이를 통해 강정규 그래프 및 블록 설계의 결합 그래프(디자인의 한 점에서 시작하는 경우)를 포함한 다양한 그래프 패밀리에서 아크-역전(그로버) 보행의 최고 상태 전이를 완전히 특성화한다. 분석 과정에서 전이 행렬을 부분 공간에 투영하여 얻은 행렬의 스펙트럼 분해를 광범위하게 활용한다. 또한, 최고 상태 전이의 다양한 예시를 제공하며, 정점 수가 증가함에 따라 최고 상태 전이량이 1에 수렴하는 무한 패밀리도 포함한다. 최고 상태 전이 특성이 정점 확대(vertex blow-up)로 생성된 무한 그래프 패밀리에도 확장됨을 입증하고, 토러스 격자에서의 정점-면 보행의 주기성을 특성화한다. 본 연구는 양자 컴퓨팅 문제에서 동기를 얻었지만, 이산 시간 양자 보행에서 최고 상태 전이에 필요한 스펙트럼 조건에서 파생되는 순수하게 조합론적인 여러 미해결 문제를 제시한다. 이는 양자 정보 과학과 조합론 분야의 교차점에서 새로운 연구 방향을 제시하는 데 기여한다.